━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 秒殺！公務員試験「数的推理」攻略 　 　　　　　　　 　　■ 超 高 速 解 法 ■ 　　　　　 第２号 〜 食塩水の三用法は必要か？ 〜 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ こんにちは。吉武瞳言です。 今回のテーマは「食塩水」です。 数的推理の「食塩水の濃度問題」は、多くの受験生が苦手 とするところだと思います。 食塩何ｇがどうのこうので食塩水何ｇを混ぜたら 濃度が何％でどうしたこうした・・・ このタイプの問題を見ただけでイヤイヤする人は 結構多いですよね。 さて、こういった苦手意識、はどうして生まれるのか？ どうして、この食塩水の濃度問題が苦手なのか？ その理由がわかれば得意になるはずです。 だけど、それがわからないから苦手なのです。 という禅問答。。。 実は、食塩水問題は、「なぜ苦手なのか？」という 「苦手意識」の意味をしっかり把握するだけでも 苦手は苦手なりに、ある程度は解けるようになることが わかっています。（僕の経験上です。） ので、今号はそのあたりを攻めてみたいと思います。 まず、次の「例題」を見て、ご自分で解いてみて下さい。 やり方（解法）は方程式でもなんでもかまいませんので とにかく解いてみて下さい。 初学者の人で、手がつかないという場合でも、 とにかく問題の意味（提示されている操作の手順）だけでも しっかりつかむように頑張って 問題文を何度も読んでくださいね。 =================================================== ≪例題１≫ ビーカーに水が入っている。ここに食塩80ｇを投入して、 よくかき混ぜてできた食塩水の濃度は20％となった。 ビーカーに最初水は何ｇ入っていたか？ =================================================== 　　 kanarazu jibunde kangaete ne! しっかり、ご自分で考えてもらえたでしょうか？ では、やっていきましょう。 まず、問題文に沿って一つずつ「パーツ」を検証します。 一つめ。「水」 これは、わかりますね（笑）。ただの水です。ビーカーに 入っている状態もすぐイメージできると思います。 二つめ。「食塩」 これも、すぐわかります。しょっぱい「シオ」です。 食塩80ｇがどれくらいの「量」なのかは個人によって イメージは異なるでしょうが（スプーン１杯分とか３杯分とか） まあ、とにかく「80ｇ」という「重さ」として、 そこにあるイメージです。 三つめ。「食塩水」 これは、「水＋食塩」ですね。 このとき、理科の実験イメージで、食塩を水に すべてきれいに溶かしきって「りっぱな食塩水」にするためには、 水の量が食塩の量よりかなり多い必要があります。 （例えば、「水80ｇ＋食塩80ｇ」とかではドロドロ〜ですよね。） ※実は数的推理での「食塩水」の作り方として、 以下の４つがあります。 １．水＋食塩 ２．水＋食塩水 ３．食塩＋食塩水 ４．食塩水＋食塩水 この４つは、言われればそんなことは「あたり前」なのですが、 それぞれのパターンを意識してわかっておいた上で、 「ああ、この例題は、水＋食塩　のパターンだな」 ととらえることが大切なわけです。 （※その重要性については後述します。） っと、ここまで、あまりに細かいことを言うようですが、 この「パーツ」ごとの緻密な検証が あとから「効いて」くるのでお見逃しなく。 では最後に四つめの「濃度」 ついに出ました。これです！コイツです！ さあ、「ノウド」って何でしょう？ この「濃度」をきちんと言葉ですぐ説明できますか？ パッと正確に言える人は大丈夫。食塩水の基本はたぶんOKです。 言えない人は、 たとえ食塩水問題で使う３つの重要な公式「三用法」を 覚えていても、すぐに行き詰ってしまう可能性大です。 （※三用法についても後述します） 　　　　　　　★食塩水の「濃度」とは、 　食塩水全体に対してそこに含まれている食塩の「割合」 のことです。（ちょっと堅苦しい物言いになってますが） そうです、「濃度」って「割合」のなんです。 というと、今度は「割合」って何？ って話になってきますが、 まさに、そこが　ポイント！　なのです。 濃度を濃度として「孤立」してポツンとらえるのではなく、 「割合」という概念の中できちんと押さえることが とても大事なのです。 ---------------------------------------------------- 　　　　　　　■「割合」とは何か？ 「割合」とは２つの数量を比較したときに、 　　　　「どっちがどっちの何倍になっているか？」 ということです。 例えば、「３００円は５０円の何倍ですか？」 と問われたら、「６倍」とすぐわかりますよね。 この「６(倍)」というのが「割合」です。 式は、 ３００÷５０＝６ という「割り算」で、これは非常に簡単だと思います。 では、「８０円は４００円の何倍ですか？」 と問われたらどういう式になるでしょうか？ これは、８０÷４００＝０.２ という「割り算」ですね。 答は「０.２（倍）」です。 ※小さい数を大きい数で割っているので商(答)は、 当然「１より小さい数値」になります。 この０.２という小数は、分数で「１/５」としてもいいですし、 百分率で表せば、０.２×１００で、２０％となります。 お金(円)の場合は「濃度」とはいいませんが、 　　　　「８０円は４００円の２０％である」 という割合で表現する感覚は食塩水の「濃度」と同じことです。 ２数についてどっちがどっちの何倍か？という「割合」は、 「割り算」で出ます。 そして、その結果に１００を掛けて「％表示」 したものが「百分率」であり、 「％(パーセント)」記号を付すと、食塩水の場合はそれを「濃度」と 呼ぶのだ、と考えればいいでしょう。 ここで上に３４行ほどもどって「★濃度の定義」を見なおしてください。 ------------------------------------------------------ 　　　　　　　★食塩水の濃度とは、 　食塩水全体に対してそこに含まれている食塩の「割合」 ------------------------------------------------------ でしたね。 これは、言い換えれば、 　　　　　「食塩」は「食塩水全体」の「何倍」か？ ということです。 「何倍？」というと、２倍、３倍、４倍、５倍・・・ などといったように、どうしても１より大きい数が思い浮かびますが、 別に、 ０.５倍、０.４倍、０.３倍、０.２倍・・・ などと１より小さい数になってもいいわけです。 （というか、食塩水の場合は必ず1より小さくなります。） この割り算については、「お金の例」でやったように、 　　　　　「８０円」は「４００円」の何倍ですか？ と聞かれれば、８０÷４００＝０.２　という式で納得ですよね。 だから、例えば、 　　　　「食塩８０g」は「食塩水全体４００g」の何倍か？ と聞かれれば、同じく「割り算」で、８０÷４００＝０.２ と自然に式が組めるはずです。 そして、この答「０.２」に100を掛けて「％表示」したものが「濃度」 なのです。 ０.２×100＝２０(％) 　　　　　　　　　　◎濃度２０％ この意味は、 　◎食塩水全体の中にその０.２（倍）の食塩水が含まれている。 ということです。 ここまでの流れをまとめると、 　　　「濃度」は「割合」である 　→「割合」は「どっちがどっちの何倍かということ」 　→ だから「割合」は２数の「割り算」で求める 　→ だから「濃度」も「割り算」で求める（食塩÷食塩水） 　→「割り算」の商(答)に100を掛けて％をつければ「濃度」になる。 こういったことが頭にしっかり入っていれば、食塩水の三用法の 一つ、 　　　　　　◎濃度＝食塩÷食塩水（×100） という「公式」を意味をわかった上で覚えて使いこなすことができます。 尚、割り算記号の「÷」がカッコ悪いというならば、 　　　　　　◎濃度＝食塩/食塩水　×100 としてもいいでしょう。 では、いいかげんこの辺で解答解説。 最初は、禁断の(笑)方程式でやってみますね。 まず、「水」の重さがわからないので、これをXgと置く。 そして、◎濃度の「公式」に沿って式を組みます。 ------------------------ ≪方程式での解法≫ 水を「Xg」とすると 食塩水＝食塩＋水なので、 食塩水は「80g＋Xg」と表せる。 濃度は20％とわかっている。 これらを【公式】に乗せて、 20＝80/(80＋X) ×100 【濃度＝食塩/食塩水　×100】 これを解いて、 X＝320g 答 水は320ｇ ------------------------- このように、「公式」をその意味をきちんと押さえた上で、 しっかり覚えておいて、方程式に持ち込む、というのも りっぱな解法の一つです。 ただ一般には、◎濃度＝食塩÷食塩水 ×100　という公式は 有名がゆえに、その形だけが一人歩きしてしまって、 それが「割合」を示しているという重要な「感覚」抜きで 提示されることが多いわけです。 式の「形だけ」覚えて理解したつもりになっていると、 簡単な問題ならいざしらず、 少し応用問題になったとたんにまったく手がつかなく なってしまいますのでその点十分注意が必要です。 ところで、 いきなり有無を言わさず「方程式」でやってしまいましたが（笑） もちろんこれは、 　　　　　「超高速解法」ではありません！ 「超高速解法」は方程式を使わないで、簡単にわかりやすくスピーディ に解くやり方ですので。 さあ、ここからが本番です！ さて、この問題をとにかく素早く簡単に解くための、 「超高速解法」のキーワードはなんだと思いますか？ （ここから上に100行ほど遡ってください。その近辺にあります） 　　　　　　　mazuha jibunde kangaetene！ ご自分で見つかりましたか？ それは・・・ 　　　　　　「１/５」 です。 この「分数」がキーワードです。 そうです、問題文中の濃度２０％という「割合」は、 小数表現なら０.２であり、 分数表現なら「１/５」なわけです。 これはつまり、 　「食塩水全体」に含まれる「食塩」の割合が「１/５」だ！ ということです。 このキーワードを確認した上でもう一度問題を眺めて見ましょう。 すると、 さっき公式（方程式）で解いたのとは異なった「感覚！」を感じるはずです。 では問題再掲。 =================================================== ≪例題≫ ビーカーに水が入っている。ここに食塩80ｇを投入して、 よくかき混ぜてできた食塩水の濃度は20％となった。 ビーカーに最初水は何ｇ入っていたか？ =================================================== ↓ どうですか？ では、１/５をキーにして読み替えてみましょう。 （この読み替えという変換作業が重要です。） ↓ ・変換後 =================================================== ≪例題≫ ビーカーに水が入っている。ここに食塩80ｇを投入して、 よくかき混ぜてできた食塩水の中には、 その食塩水全体の１/５の食塩が溶けている。 ビーカーに最初水は何ｇ入っていたか？ =================================================== ↓ さらに「圧縮」します♪ ↓ ・圧縮後 =================================================== ≪例題≫ 「水＋食塩」で作った食塩水の１/５は食塩であり、 それは80ｇである。水は何ｇか。 =================================================== ↓ ここまで「圧縮」できれば、 濃度公式などまったく関係なくなりますよね。 食塩水全体の１/５が80gということは、 食塩水全体は、80gの５倍になる。 よって、 80g×５＝400g 水は、400g−80g＝320g 答 320g で終了です。 これでも十分速いですが、さらに、追求してみます。 っと、ここで突然ですが、「比」を使います。 「超高速解法」では「比」の感覚が大事なんです！ まず、 「食塩が全体の１/５」という状況を 視覚的にわかりやすく「線分図」で表しますね。 　┃------┃------┃------┃------┃------┃ 　　 食塩 水 水　　　水　　　水 食塩水全体を５個に分けたうちの１個が「食塩」で 残りの４個分が「水」ということが容易にわかるはずです。 ここで「比」です。 　　　　 ■ 食塩：水＝１：４ これは、食塩の４倍が水ということなので、水を求めるには、 　　　　　　　８０g×４＝３２０g この一つの単純な式だけで「終了」です。 「８０を４倍するだけ」で瞬間的に終了しちゃいますね。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ≪例題１の超高速解法≫ ８０g×４＝３２０g 正答　３２０g ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 「４倍(×４)」の部分を「数学的」に補足するなら、 全体を１とおいて、１−１/５＝４/５ 　　　　　■ 食塩：水＝１/５：４/５ よって、１：４ また、「算数的」に言うなら 　　　　　■ 食塩：水＝２０％：８０％ よって、１：４ でもいいでしょう。 この場合、水の８０％というのは「濃度」とはいいません。 単に「水の割合」と呼びます。 食塩水全体からみて、その８０％が水ということです。 そして、 これらがこの問題の「構造」です。 この問題の「本質」は、 　　　　　「食塩の割合」：「水の割合」 という「比」にあるのです！ これは「バランス」の感覚です。 この「バランス感覚」が身につき、食塩水問題を このように「比」の目線で見れるようになると、 先程やったように「問題文」を自分流に変換圧縮して 簡単に答をだせるようになっていきます。 これは、濃度の「公式」を単に暗記しているのとは 雲泥の差ですし、 未知数を置いて方程式に機械的に条件項を乗っけて解くのとも 全く異なる「感覚」なはずです。 ということで、今回のテーマ「三用法(公式)は必要か？」 ですが、 必要か不要かと言えば「必要」です。笑 ちょっと３つとも書いてみますね。 　　　・濃度＝食塩÷食塩水 　　　・食塩＝食塩水×濃度 　　　・食塩水＝食塩÷濃度　←※ これらを「覚えて」いれば、≪例題１≫において、 ３番目(←※)の用法を使って、 　　　　食塩水＝８０÷０.２ または、 　　　　食塩水＝８０÷20/100 として、 この式から、 食塩水全体を４００gと求めて・・・ それから「食塩８０g」を引いて・・・ ４００−８０＝３２０ 答 水３２０g とやっても問題ないです。 ただし、公式主義に陥ると、例えば次のような数字設定に なっただけで、とたんに計算が面倒になり、余計な時間を 食ってしまいます。 ・数字設定のみ変更　80g→144g　20％→25％ =================================================== ≪例題その２≫ ビーカーに水が入っている。ここに食塩144ｇを投入して、 よくかき混ぜてできた食塩水の濃度は25％となった。 ビーカーに最初水は何ｇ入っていたか？ =================================================== 　　 koremo mazu jibunhitori de toitemite ne！ 公式でやるとすると、 三用法「食塩水＝食塩÷濃度」 より、 144÷0.25＝576 「食塩水576g」−「食塩144g」＝「水432g」 答 ４３２g このように、割り算の計算(144÷0.25)がちょっとイヤな感じでしょ？ （ソロバンの達人はともかく。） っと、こう申し上げると、 「この計算を簡単にやる方法があります」 と手を上げる人がいます。笑 144÷0.25　の部分において 計算を楽にするために「小数」を「分数」に 直して計算すればいい！ という「意見」です。 こうなります。 144÷0.25 ＝144÷1/4（0.25を分数にする。25/100＝1/4） ＝144×4/1（分数での割り算は分母と分子をひっくり返して掛ける） ＝144×４（分母は１なので省略） ＝576（食塩水が求まる） 確かに、計算は 144×４という楽な掛け算になりました。 （あとは、576−144＝432　で終了。） 確かに楽になりましたが・・・ でも、ここで気づいてもらいたいことがあります。 そう、通常の公式丸呑みや機械的な方程式の解法と 「われらが超高速解法」との 　　　　　決定的な違い！ です。 144×４ という部分を見て下さい。 この、「×４」って何でしょうか？ そこに「意味」はあるでしょうか？ ありません。 この「×４」は ÷0.25 ↓ ÷1/4 ↓ ×4/1 ↓ ×４ という数式上の「アソビ(アレンジ)」にすぎません。 先に「意味がない」と断じたのは、 ここで「×４」と計算する「行為」には、ここで用いた、 　　　　　食塩水＝食塩÷濃度 という公式の本質的な意味合いとのつながりがない、 ということです。 （だって、割り算が掛け算になっちゃってるんだから。笑） このように、一見簡単な計算になったように思えても そこに「意味がない」と、どうなるか？？？？ 一言でいえば応用が利かない(利かなくなる)ということです。 これが、「超高速解法」との決定的な違いです。 では、「超高速解法」でやってみます。 この≪例題その２≫でも、25％を最初に1/4と「変換」しさえすれば、 その１と同様に、きわめて簡単です。 まずは、25％＝25/100＝1/4 「食塩」の「割合」が食塩水全体の4分の1　 よって、「水」は4分の３ 　　┃--------┃--------┃--------┃--------┃ 食塩144g　　水　　　　水　　　　水 水は、144×３＝432　 答 水432g この考え方で、「食塩水全体」を求めたいなら、式は、 144×４ ですよね。 このとき、この「×４」には先程と違って、 しっかり「意味」がある！ ことがわかると思います。 そこには、 　　　　　★食塩水全体は食塩の「４倍」だ！ という具体的イメージを伴ったリアルな「感覚」が生じているはずです。 この「感覚」が最も大事なのです。 ２数を比較して、どっちがどっちの「何倍」なのか？ という「割合」という考え方の一番基本になる 　　　　　　　　■「バランス感覚」 です。 実は、これこそが「濃度問題」を簡単スピーディに解くキモなのです。 ------------------------------------------------------------ 　　　　　　　　　　●ポイント ≪例題≫ 「濃度20％」という記述部分だけで、 　食塩水：食塩＝5：１　 とか、 　水：食塩＝4：1 といった「比のバランス」を瞬時に把握すること！ ≪例題その２≫ 「濃度25％」という記述部分だけで、 　食塩水：食塩＝4：１　 とか、 　水：食塩＝3：1 といった「比のバランス」を瞬時に把握すること！ ※このあたりについては、 去年末に出した僕の本を購入してくれた方は、 上巻の162ページからの食塩水の章と合わせて読んでください。 きっとまた新たな気づきがあるはずですから。 --------------------------------------------------------- ☆では最後に理解度チェック問題を１問やってみましょう♪ ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 水９６gに食塩を混ぜたら、濃度２０％の食塩水になった。 できた食塩水は何gか？ ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 　　　　　 seigen-jikan ha 10byou desu！ ━━━━━━━━━━━━━ ≪超高速解法≫ ９６×５/４＝１２０ 正答 １２０g ━━━━━━━━━━━━━ ※この超高速解法の式は少々「不親切」に書いたので すぐにわからない人もいるかもしれません。 でも、この式の「意味」をしっかり理解することが 濃度問題を超高速に解く基礎になりますので 頑張って考えて下さい。 どうしてもわからない、腑に落ちないという点があれば メールでお尋ね下さい。必ずお返事しますので。 E-Form http://www.formzu.net/fgen.ex?ID=P44239310 今号は、 かなぁ〜り「長文」になりましたが、 内容的には、まだまだ序の口です。 前号で宣言したとおり、今年は発行頻度を あげて、受験生のみんさんにとって、 もっともっと役立つメルマガにしていくつもりですので ご期待ください！ ◆超高速解法 　吉武瞳言(YOSHITAKE DOUGEN) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ★編集後記-2（gokigoki） 御守りご希望の方への発送は昨日いったん終了しました。 次のメルマガでの告知は機を見て行いたいと思いますが、 まあ、随時募集ということで（笑）。 ほしい、という方はいつでもお気軽にメールでお問い合わせください。 実費のみで代送します。　http://www.formzu.net/fgen.ex?ID=P44239310 ──────────────────────────────────── ★編集後記-3（gokigokigoki） 次号では、今号の最後のチェック問題についてさらにディープな考察を行います。 腕に自信がある人は「別解」とかを考えて待っておいて下さいね〜 もちろん、「こんな解法あるよ」とか先にメールで送ってもらってもｏｋです。 ところで「序の口」って死語でしょうか？笑 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ●発行者 　吉武瞳言（Yoshitake Dougen）　hayawaza @ 8000.jp ------------------------------------------------------------------------ ■『数的推理の超プロが指南する超高速解法のススメ！』上下巻同時発売中！！ 　　・上巻(青本) →　http://www.8000.jp/hon-big-blue.html ------------------------------------------------------------------------ ▼姉妹紙・算数革命　→ http://www.mag2.com/m/0000101515.html ------------------------------------------------------------------------ ●受信先変更や解除はこちら。→ http://www.mag2.com/m/0000092456.htm ------------------------------------------------------------------------ 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